Wersja twojej przeglądarki jest przestarzała. Zalecamy zaktualizowanie przeglądarki do najnowszej wersji.

Principles of Chemistry

Kwantowanie pola elektromagnetycznego

Podstawowa metoda przejścia od klasycznego opisu pola elektromagnetycznego do opisu kwantowego polega na rozłożeniu pola na oscylatory. W związku z tym należy rozważyć swobodne fale elektromagnetyczne opisane za pomocą potencjałów wybranych tak aby potencjał skalarny był równy zero, a pozostawał do opisu tylko potencjał wektorowy A.W pewnym dużym, ale skończonym obszarze przestrzeni Ω pole można rozłożyć na biegnące fale płaski. Wtedy potencjał wyraża szereg postaci:

:gdzie współczynniki ck zależą od czasu zgodnie z ck ~ e–iωt, a ω jest modułem wektora falowego k (ω = |k|). Jednocześnie każdy ze współczynników ck jest ortogonalny względem odpowiedniego wektora falowego, czyli ckk = 0. Sumowanie w powyższym wzorze przebiega po nieskończonym. ale dyskretnym zbiorze wartości wektora falowego, a właściwie po jego składowych kx, ky, kz. W związku z tym przejście od sumowania do całkowania po rozkładzie ciągłym odbywa się przez zastosowanie wyrażenia:

dla liczby możliwych wartości wektora k przypadających na jednostkę objętości w przestrzeni k. Znajomość wektora ck całkowicie określa pole w rozpatrywanym obszarze, a co za tym idzie zbiór jego wartości tworzy dyskretny zbiór klasycznych zmiennych pola. Musimy jednak dokonać przekształcenia tych zmiennych w taki sposób aby uzyskały one postać kanonicznych równań Hamiltona mechaniki klasycznej. Kanoniczne zmienne pola definiuje się następująco

i są to wielkości rzeczywiste (kropka nad Q oznacza pochodną). Teraz energię zdefiniowaną przez funkcję Hamiltona można przedstawić następująco:

Każdy z wektorów Pk i Qk jest prostopadły do wektora falowego k, czyli ma dwie niezależne składowe. Kierunek tych wektorów określa kierunek polaryzacji fali. Jeżeli oznaczymy składowe wektorów Pk i Qk w płaszczyźnie prostopadłej do k przez P i Q to funkcja Hamiltona przyjmie postać:

W takim wypadku funkcja Hamiltona składa się z sumy niezależnych czynników, z których każdy zawiera tylko jedną parę zmiennych P i Q.Każdy z tych wyrazów odpowiada fali o określonym wektorze falowym i polaryzacji i ma postać funkcji Hamiltona dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. Tak sformułowana postać hamiltonianu, czyli w formie wektorowej, pozwala na przejście od teorii klasycznej do mechaniki kwantowej. Można teraz rozpatrywać zmienne kanoniczne, czyli współrzędne i pędy uogólnione P i Q jako operatory spełniające reguły komutacyjne w formie:

gdzie jak wiadomo wszystkie operatory o wskaźnikach kσ komutują ze sobą wzajemnie. W takim ujęciu operatorem staje się również potencjał A. Teraz hamiltonian pola przyjmuje postać operatorową:

a wyznaczenie wartości własnych takiego hamiltonianu nie wymaga obliczeń, gdyż sprowadza się do zagadnienia poziomów energetycznych oscylatora liniowego, którego rozwiązanie jest znane. Wzór opisujący poziomy energetyczne pola ma postać:

gdzie N są liczbami całkowitymi.

Klasyczne wyrażenia pędu pola opisuje wzór:

gdzie n = k/k. Odpowiedni operator powstaje przez zamianę H na Ĥ, a jego wartość jest równa:

Teraz możemy wypisać nieznikające elementy macierzowe współrzędnej Q oscylatora, które są równe:

Elementy macierzowe P równe pierwszej pochodnej z Q różnią się od elementów macierzowych współrzędnych tylko czynnikiem ±i ω, i wynoszą:

 Bezpośredni sens fizyczny mają nie same operatory współrzędnej i pędu lecz ich kombinacje liniowe

odpowiadające współczynnikom c w rozwinięciu klasycznym. Jedyne nie znikające elementy macierzowe tych współczynników są równe (N)½. Operatory ĉ i ĉ+ komutują ze sobą, a wyrażenie na operator pola elektromagnetycznego przyjmuje postać:

Przez e(σ) oznaczono wektory jednostkowe określające polaryzację oscylatorów, są one prostopadłe do wektora falowego k i każdemu k odpowiadają dwie niezależne polaryzacje oznaczone wskaźnikami σ = 1, 2. Należy pamiętać, że w przypadku polaryzacji liniowej wektor jest rzeczywisty i wskazuje bezpośrednio kierunek polaryzacji, a w przypadku polaryzacji kołowej (eliptycznej) jest zespolony i ma określony stosunek składowej rzeczywistej do urojonej. W takim wypadku wektor jednostkowy jest dany iloczynem liczby i jej sprzężenia zespolonego równym 1.

Powyższy opis pola elektromagnetycznego jest nazywany przedstawieniem Schrödingera, w którym operatory różnych wielkości fizycznych nie zależą w sposób jawny pod czasu. Ewolucję układu w czasie opisuje zależność funkcji falowej od czasu. W przedstawieniu Heisenberga zależność od czasu została przeniesiona z funkcji falowych na operatory. Równorzędna zależność operatorów od współrzędnych i czasu pozwala bezpośrednio wyrazić relatywistyczną niezmienność czasoprzestrzenna teorii. Dla operatora  przejście do przedstawienia Heisenberga polega na dodaniu w każdym wyrazie sumy czynnika e–iωt. Wtedy wyrażenie na  przybiera postać:

gdzie